V字型ポテンシャル
演習問題で出てきたように、V字型ポテンシャルのシュレディンガー方程式は、
\[-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}\varphi (x)+V(x)\varphi
(x)=\varepsilon\varphi (x)\] \begin{eqnarray} V(x)=\left\{
\begin{array}{ll} \lambda x & (0 \le x) \\ - \lambda x & (x
\lt 0) \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} で表され、 $\xi =
\sqrt[3]{\frac{2m\lambda }{\hbar^{2}}} x$、 $\eta =
\sqrt[3]{\frac{2m}{\lambda ^{2}\hbar ^{2}}}\varepsilon
$を用いて表すと、無名数で表された \[\frac{d^{2}}{d\xi ^{2}}\varphi (\xi )=(\pm
\xi-\eta)\varphi (\xi)（但し、x \ge 0では+、x \lt 0ではーをとる。）\]
という微分方程式になります。演習で学ぶように$x$に関して対称的なポテンシャルでは波動関数は偶関数、あるいは奇関数となるので、
適当なエネルギーの値を入れて波動関数の形を数値的に(ルンゲ・クッタ法で)計算できるようにしたのが下記のプログラムです。
無限遠で発散しない、即ち物理的に正しい解はどのようなエネルギーの時に現れるか試みて下さい。
尚、この微分方程式の解はエアリー関数と呼ばれる関数で表され、その漸近形から、固有値$\eta$は偶関数の時には $\eta =
\left[\frac{3}{2}\pi
\left(n+\frac{1}{4}\right)\right]^{\frac{2}{3}}(n=0,1,2\cdots)
$、奇関数の時には$\eta =
\left[\frac{3}{2}\pi\left(n-\frac{1}{4}\right)\right]^{\frac{2}{3}}
(n=1,2\cdots)$で近似的に表されることが知られています(下表はその計算値)。
変分法で求めた値、この数値計算で得られた値と比較してみてください。
