非調和振動子
講義で学んだように、一次元調和振動子に距離の３乗に比例する力が付加されたときのシュレディンガー方程式
は、
\[-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}\varphi
(x)+\frac{1}{2}m\omega ^{2}x^{2}\varphi (x) + \kappa x^{4}\varphi
(x)=\varepsilon\varphi (x)\]で表され、$\xi =\sqrt{\frac{m\omega
}{\hbar}}x$、$\lambda =\frac{2\varepsilon }{\hbar\omega }$、$\eta =
\kappa
(\frac{\hbar}{m\omega})^{2}\frac{2}{\hbar\omega}$を用いて表すと、無名数で表された
\[\frac{d^{2}}{d\xi ^{2}}\varphi (\xi )=(\xi^{2}+\eta
\xi^{4}-\lambda )\varphi (\xi
)\]という微分方程式になります。演習で学ぶように$x$に関して対称的なポテンシャルでは波動関数は偶関数、あるいは奇関数となるので、
適当なエネルギーの値を入れて波動関数の形を数値的に(ルンゲ・クッタ法で)計算できるようにしたのが下記のプログラムです。
無限遠で発散しない、即ち物理的に正しい解はどのようなエネルギーの時に現れるか試みて下さい。
教科書で計算されているように、$\kappa
x^{4}$を摂動として考えた場合、摂動のない場合の固有値が$\lambda=\frac{2\varepsilon
}{\hbar\omega }=2n+1$であるのに対し、１次の摂動による固有値の変化は$\Delta\lambda =
\frac{3}{4}\eta(2n^{2}+2n+1)$と
なります。$\eta$が小さいときには摂動による$\lambda$の変化がこの値に近いこと、$\eta$が大きくなるとずれを生じること
を確認して下さい。