水素原子のエネルギー
水素原子のように、原点に電
荷$e$の核があり、その引力を受けて電子が運動しているとき、電子の動径部分の波動関数$R(r)$の従うシュレディンガー方程式
は、講義で学んだように$\chi (r)=rR(r)$として
\[-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dr^{2}}\chi(r)+\left\{\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\ell(\ell+1)}{r^{2}}-\frac{e^{2}}{4\pi\epsilon
_{0}r}\right\}\chi(r)=\varepsilon\chi(r)\]で表され、
ボーア半径$\displaystyle
a_{0}=\frac{4\pi\epsilon_{0}\hbar^{2}}{me^{2}}$とリュード
ベリ定数$\displaystyle
R_{\infty}=\frac{me^{4}}{2(4\pi\epsilon_{0})^{2}
\hbar^{2}}$を用いて、変数を$\displaystyle \rho
=\frac{r}{a_{0}}$と$\displaystyle \eta =
\frac{\varepsilon}{R_{\infty }} $に変えて表すと、無名数で表された
\[\frac{d^{2}\chi}{d\rho ^{2}} + \left\{\frac{2}{\rho } -
\frac{\ell(\ell + 1)}{\rho ^{2}}\right\}\chi + \eta \chi = 0
\]という微分方程式になります。演習で学ぶように$\chi (\rho )$は$\rho
^{\ell+1}$に比例して原点に近づくので、
適当なエネルギーの値を入れて波動関数の形を数値的に(ルンゲ・クッタ法で)計算できるようにしたのが下記のプログラムです。
無限遠で発散しない、即ち物理的に正しい解はどのようなエネルギーの時に現れるか試みて下さい。