球関数
講義で学んだように、中心力場中の粒子のシュレディンガー方程式を極座標($r, \theta,
\phi$)で表して、波動関数を$\varphi (r, \theta, \phi) =
R(r)Y(\theta,\phi)$と置いて、変数分離法で解くと、$Y(\theta, \phi)$の従う微分方程式は、
\[\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin
\theta \frac{\partial Y}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{\sin^{2}
\theta}\frac{\partial^{2}Y}{\partial \phi^{2}}+\lambda
Y=0\]と表されます。さらに、$Y(\theta,\phi)=\Theta (\theta)\Phi
(\phi)$と置いて、変数分離法で解くと、$\Phi (\phi)\propto e^{im\phi}
$($m$は整数)と求まり、$\Theta (\theta)$の従う微分方程式は$u=\cos \theta$を用いて表すと、
\[(1-u^{2})\frac{d}{du}\left\{(1-u^{2})\frac{d}{du}\Theta
(u)\right\}+\left\{\lambda (1-u^{2})-m^{2}\right\}\Theta
(u)=0\]となります。この微分方程式の形から予想されるように、解は$u=\pm 1$で発散する可能性がありますが、
$\lambda=\ell(\ell+1)$(但し$\ell$は $\ell\ge
|m|$を満足する整数)の時に発散しない解を持ちます。
下記のプログラムは、$\lambda$の値を適当に入れると波動関数の形が数値的に(ルンゲ・クッタ法で)計算できるようにしたもの
で、$u$についての偶関数、及び奇関数の解を求めています。 $u=\pm
1$で発散しない解はどのような$\lambda$の時に、偶関数、奇関数のどちらに現れるか、試みて下さい。また、その解の形を教科書にあ
る$Y_{\ell}^{m}(\theta,\phi)$の表式と比較してみて下さい。
$\underline{u=\cos\thetaについて偶関数の場合}$